Journal d'un Terrien
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densité des n-uplets pythagoriciens
J'ai créé cette note à partir d'un slide show trouvé sur internet, et dû à Yohan Thibault : https://slideplayer.fr/slide/1320432/ Elle prouve quelques résultats qui me semblent nouveaux et intéressants. Entre autres que l'ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense dans l'espace.
Rappel : Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotés.
Tout triplet de nombres réels {a,b,c] forme un triangle rectangle si
trois entiers
Les angles pythagoriciens
Un angle est pythagoricien si son sinus et son cosinus sont rationnels.
Pour chaque triplet pythagoricien il existe un unique angle pythagoricien associé.
Densité
Un ensemble
L'ensemble des angles pythagoriciens est dense.
Pour toute paire d'angles pythagoriciens
Preuve (600 av JC)
Soit
Comme
Pour tout
Il existe une infinité de triplets pythagoriciens de la forme
Quand
On peut donc trouver
Preuve du théorème :
Grâce au lemme 1,
est pythagoricien
Grâce au lemme 2, il existe
Grâce au lemme1, on pose
Vecteurs pythagoriciens
Un 2D vecteur est pythagoricien si ses coordonnées et sa norme euclidienne sont entières.
Pour chaque triplet pythagoricien il existe un unique vecteur pythagoricien.
Pour chaque vecteur pythagoricien il existe un angle pythagoricien associé. (La réciproque est presque vraie)
Densité des vecteurs
Un sous-ensemble
Objectif
Prouver la densité de l'ensemble des vecteurs pythagoriciens en 3d, puis en N dimensions.
Quadruplets pythagoriciens
Quatre entiers {
Le nombre de quadruplets pythagoriciens est infini.
On peut représenter les quadruplets sous deux formes :
- Une paire d'angles
- un vecteur pythagoricien
Les angles pythagoriciens en 3D
Un quadruplet pythagoricien correspond à une paire d'angles. Les sinus et cosinus de ces angles ne sont généralement pas rationnels.
Difficile de travailler dans le domaine discret avec ces angles
Les vecteurs pythagoriciens dans l'espace 3D
Un vecteur est pythagoricien si ses coordonnées et sa norme euclidienne sont entières.
Pour chaque quadruplet pythagoricien il existe un unique vecteur associé.
L'ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense dans l'espace.
Preuve :
Un sous ensemble C d'un espace vectoriel est un cône convexe si
-
On définit un cône convexe par trois vecteurs pythagoriciens convexes quelconques (mais linéairement indépendants)
-
On projette les trois vecteurs dans le plan OXY
-
Par construction au moins une paire de vecteurs projetés est linéairement indépendante.
-
Cette paire forme un cône convexe en 2D
-
Les vecteurs pythagoriciens 2D sont denses donc il existe un vecteur dans le cône convexe.
-
On définit un plan P passant par l'origine et ayant pour vecteurs directeurs OZ et le vecteur créé.
-
On cherche l'intersection entre P et le cône convexe 3D.
-
Dans ce cône on cherche un autre vecteur pythagoricien.
-
on construit le vecteur pythagoricien final :
RemarqueSi
Pour construire le vecteur final on part de deux vecteurs
On cherche
Les quatre entiers
Densité en dimension N
Un sous-ensemble
n-uplets pythagoriciens
n entiers {
Le nombre de n-uplets pythagoriciens est infini. La représentation consistante dans l'espace discret est la forme vectorielle.
vecteurs pythagoriciens
Un vecteur est pythagoricien si ses coordonnées et sa norme euclidienne sont entières.
Pour chaque n-uplet pythagoricien il existe un unique vecteur pythagoricien associé.
L'ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense dans l'espace (n-1)D
Preuve de la densité des vecteurs pythagoriciens (n-1)D
Pré-requis : en dimension n-2 l'ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense.
La démonstration est semblable à celle précédente, à ceci près qu'on définit un cône convexe par n-1 vecteurs linéairement indépendants et qu'on les projette dans un hyperplan HP ;
Comme les n-1 vecteurs sont linéairement indépendants, il existe au moins un sous-ensemble de n-2 vecteurs dont la projection est linéairement indépendante dans HP ; ce sous-ensemble forme un cône convexe (n-2)D dans HP qui contient un vecteur pythagoricien puisque les vecteurs en (n-2)D sont denses.
Comme précédemment on définit un plan P passant par l'origine et ayant pour vecteurs directeurs l'axe de projection et le vecteur créé.
L'intersection entre P et le cône d'origine est un cône convexe 2D, dans lequel on peut trouver un vecteur pythagoricien 2D.
Enfin, on construit le vecteur (n-1)D final en utilisant encore le fait que multiplier un n-uplet pythagoricien par un scalaire entier est encore un n-uplet pythagoricien.
les n-uplets pythagoriciens "forts"
La projection d'un vecteur pythagoricien dans une dimension inférieure ne donne pas un vecteur pythagoricien en général. Il existe des vecteurs pythagoriciens qui "résistent" à la projection.
Un vecteur pythagoricien à n-1 dimension est fort s'il existe
à quoi servent les vecteurs pythagoriciens ?
- leur densité permet d'approximer avec des entiers tous les vecteurs de l'espace.
- Ils permettent de faire toutes les rotations dans l'espace de la même manière que les angles charnières.
Approximer en nD un vecteur par un vecteur pythagoricien
Rappel : comment trouver tous les triplets pythagoriciens
Trouver un triplet pythagoricien tel que
Ce qui est l'équation du cercle de centre (0,0) et de rayon 1.
En remarquant que si à partir d'un point rationnel, disons (-1,0) de ce cercle, on trace une droite de pente rationnelle, elle coupera le cercle en un point également rationnel, il suffit pour trouver tous les triplets de choisir un rationnel
sera également un point rationnel. Ce qui permet de construire tous les triplets pythagoriciens.
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